机器学习-线性规划(LP)

线性规划问题

首先引入如下的问题：

假设食物的各种营养成分、价格如下表：

Food
Energy（能量）
Protein（蛋白质）
Calcium（钙）
Price

Oatmeal（燕麦）
110
4
2
3

Whole milk（全奶）
160
8
285
9

Cherry pie（草莓派）
420
4
22
20

Pork with beans（猪肉）
260
14
80
19

要求我们买的食物中，至少要有2000的能量，55的蛋白质，800的钙，怎样买最省钱？

设买燕麦、全奶、草莓派、猪肉为x1,x2,x3,x4

于是我们可以写出如下的不等式组

其实这些不等式组就是线性规划方程（Linear programming formulation）：

简单的说，线性规划就是在给定限制的情况下，求解目标。

可行域

来看一个算法导论中的例子，考虑如下的线性规划：

max x1+x2s.t 4×1–x2≤8    2×1+x2≤10    5×1–2×2≥−2    x1,x2≥0

我们可以画出下面的图：

看图a，灰色的区域就是这几个约束条件要求x1,x2所在的区域，而我们最后的解x1,x2也要在这里面。我们把这个区域称为可行域（feasible region）

图b可以直观的看出，最优解为8, 而 x1= 2 , x2=6

线性规划标准形式

线性规划的标准形式如下：

min cTxs.t  Ax≤b     x≥0

就是

求的是min
所有的约束为<=的形式
所有的变量均 >=0

如何变为标准形式？

原来是max, 直接*-1求min
若原来约束为=，转为 >= 和<=
约束原来为 >= 同样的*-1，就改变了<=
若有变量 xi < 0 ，那么用 x‘ – x”来替代，其中 x’>=0 x”>=0

线性规划松弛形式

松弛形式为：

min cTx

s.t. Ax=b

x≥0

就是通过引入变量把原来的 <= ，变为=的松弛形式.

如：

x1+x2≤2 x1+x2≥1×1,x2≥0

写为松弛形式就是

x1+x2+x3=2×1+x2+x4=1×1,x2,x3,x4≥0

<= vs <

为什么我们的线性规划的形式都是可以 <= 或者 >=的形式的？把等号去掉可以么？不可以

举个例子

max x

s.t. x≤1

max x

s.t. x<1

显然第二个是无解的。

单纯形算法的思想与例子

如何求解线性规划问题呢？

有一些工具如GLPK，Gurobi 等，不在本文的介绍范围内。

本文要介绍的是单纯形算法，它是求解线性规划的经典方法，虽然它的执行时间在最坏的情况下是非多项式的（指数时间复杂度），但是，在绝大部分情况下或者说实际运行过程中却是多项式时间。

它主要就三个步骤

找到一个初始的基本可行解
不断的进行旋转（pivot）操作
重复2直到结果不能改进为止

以下面的线性规划为例:

min −x1−14×2−6x3s.t. x1+x2+x3≤4     x1≤2     x3≤3     3×2+x3≤6     x1,x2,x3≥0

将其写为松弛的形式：

min −x1−14×2–6x3s.t. x1+x2+x3+x4=4     x1+x5=2     x3++x6=3     3×2+x3+x7=6     x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0

其实，就是等价于（仍然要求 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 >=0）：

z=−x1−14×2–6x3x4=4−x1–x2−x3x5=2–x1x6=3–x3x7=6–3×2–x3

在上述的等式的左边称为基本变量，而右边称为非基本变量。

现在来考虑基本解就是把等式右边的所有非基本变量设为0，然后计算左边基本变量的值。

这里，容易得到基本解为：(x1,x2….x7) = (0,0,0,4,2,3,6)，而目标值z = 0，其实就是把基本变量xi设置为bi。

一般而言，基本解是可行的，我们称其为基本可行解。初始的基本解不可行的情况见后面的讨论，这里假设初始的基本解就是基本可行解，因此三个步骤中第一步完成了。

现在开始，来讨论上面的第二个步骤，就是旋转的操作。

我们每次选择一个在目标函数中的系数为负的非基本变量xe，然后尽可能的增加xe而不违反约束，并将xe用基本变量xl表示， 然后把xe变为基本变量，xl变为非基本变量。

这里，假设我们选择增加x1，那么在上述的等式（不包括目标函数z那行）中，第1个等式限制了x1 <=4（因为x4>=0），第2个等式有最严格的限制，它限制了x1 <=2，因此我们最多只能将x1增加到2，根据上面的第二个等式，我们有： x1 = 2 – x5，带入上面的等式就实现了xe和xl的替换：

z=−2−14×2–6×3+x5x4=2–x2−x3+x5x1=2–x5x6=3–x3x7=6–3×2–x3

这样其实就是一个转动(pivot)的过程，一次转动选取一个非基本变量（也叫替入变量）xe 和一个基本变量（也叫替出变量） xl ，然后替换二者的角色。执行一次转动的过程与之前所描述的线性规划是等价的。

同样的，将非基本变量设为0，于是得到：(x1,x2….x7) = (2,0,0,2,0,3,6)， Z = -2，说明我们的目标减少到了-2

接下来是单纯形算法的第三步，就是不断的进行转动，直到无法进行改进为止，继续看看刚才的例子：

我们接着再执行一次转动，这次我们可以选择增大x2或者x3，而不能选择x5，因为增大x5之后，z也增大，而我们要求的是最小化z。假设选择了x2，那么第1个等式限制了x2 <=2 , 第4个等式限制了x2 <= 2，假设我们选择x4为替出变量，于是有： x2 = 2 – x3 – x4 + x5 ，带入得：

z=−30+8×3+14×4−13×5

x2=2−x3−x4+x5x1=2–x5x6=3–x3x7=2×3+3×4–3×5

此时，我们的基本解变为(x1,x2….x7) = (2,2,0,0,0,3,0)， Z = -30

我们可以继续的选择增大x5，第4个等式具有最严格的限制（0 – 3×5 >=0），我们有x5 = 2/3 x3 + x4 – 1/3 x7

带入得

z=−30–23×3+x4+133x7x2=2–13×3−13x7x1=2–23×3–x4+13x7x6=3–x3x5=23×3+x4–13×7

此时，我们的基本解变为(x1,x2….x7) = (2,2,0,0,0,3,0)， Z = -30，这时候并没有增加，但是下一步，我们可以选择增加 x3。第2个和第3个有最严格的限制，我们选第2个的话，得：x3 = 3 – 3/2 x1 – 3/2 x4 + 1/2 x7，然后老样子，继续带入：

z=−32+x1+2×4+4x7x2=1+12×1+12×4–12x7x3=3–32×1–32×4+12x7x6=32×1+32×4–12x7x5=2–x1

现在，已经没有可以继续增大的值了，停止转动，z=-32就是我们的解，而此时，基本解为：(x1,x2….x7) = (0,1,3,0,2,0,0)，看看最开始的目标函数：z = -x1 -14×2 – 6×3 ,我们将x2=1,×3=3带入得，z=-32，说明我们经过一系列的旋转，最后得到了目标值。

退化(Degeneracy)

在旋转的过程中，可能会存在保持目标值不变的情况，这种现象称为退化。比如上面的例子中，两次等于-30.

可以说退化可能会导致循环（cycling）的情况，这是使得单纯形算法不会终止的唯一原因。还好上面的例子中，我们没有产生循环的情况，再次旋转，目标值继续降低。

《算法导论》是这样介绍退化产生循环的：

Degeneracy can prevent the simplex algorithm from terminating, because it can lead to a phenomenon known as cycling: the slack forms at two different iterations of SIMPLEX are identical. Because of degeneracy, SIMPLEX could choose a sequence of pivot operations that leave the objective value unchanged but repeat a slack form within the sequence. Since SIMPLEX is a deterministic algorithm, if it cycles, then it will cycle through the same series of slack forms forever, never terminating.

如何避免退化？一个方法就是使用Bland规则：

在选择替入变量和替出变量的时候，我们总是选择满足条件的下标最小值。

替入变量xe：目标条件中，系数为负数的第一个作为替入变量
替出变量xl：对所有的约束条件中，选择对xe约束最紧的第一个

在上面的例子中，我也是这么做的。^ ^

另一个方法是加入随机扰动。

无界(unbounded)的情况

有的线性规划问题是无界的，举个栗子对于下面的线性规划

min−x1–x2s.t. x1–x2≤1     −x1+x2≤1     x1,x2≥0

画出区域为：

显然可以不断的增大。让我们来看看单纯形算法是如何应对的：

上述的写成松弛形式为：

min −x1–x2s.t.  x1–x2+x3=1      −x1+x2+x4=1      x1,x2,x3,x4≥0

也就是，

z=−x1–x2x3=1–x1+x2x4=1+x1–x2

选择x1 为替入变量，x3为替出变量，有：

z=−1–2×2+x3x1=1+x2–x3x4=2–x3

这时候我们只能选择x2 为替入变量,才能使得目标值变小，但是我们发现，对于x2没有任何的约束，也就是说，x2可以无限大，所以这是没有边界的情况。

这个情况是我们有一个替入变量，但是找不到一个替出变量导致的，这时候就是无界的情况了，写算法的时候注意判断一下即可。

从几何角度看单纯形算法

上面我们介绍单纯形算法的时候，是通过最直观的等式变换（就是旋转操作）介绍的。

我们知道，线性规划就是在可行域围成的多胞形中求解，现在从几何的视图来看看单纯形算法。

只需考虑顶点

让我再次召唤之前的图：

直观上看，最优解就在顶点上，不需要考虑内部点。

一个引入的证明

我们假设x(0) 是最优解，连接x(1)和x(0) 与 x(2)和x(3)相交于点x’

我们可以把x(0) 分解，x(0) = λ1 x(1) + (1 – λ1)x’ 其中λ1 = p / (p + q)

同样的把x‘ 分解，x’ = λ2 x(2) + (1 – λ2)x(3) 其中λ2 = r / (r + s)

因此有：x(0) = λ1 x(1) + (1 – λ1)λ2 x(2) + (1 – λ1) (1 – λ2)x(3)，而λ1 + (1 – λ1)λ2 + (1 – λ1) (1 – λ2) = 1

设 cT x(1) 小于等于 cT x(2)， cT x(3)，因此有：

CTx(0)=λ1CTx(1)+(1–λ1)λ2CTx(2)+(1–λ1)(1–λ2)CTx(3)         ≥λ1CTx(1)+(1–λ1)λ2CTx(1)+(1–λ1)(1–λ2)CTx(1)         =CTx(1)

因此，x(1) 并不比x(0) 差。

小结

用几何的角度看待单纯形算法，主要有几点：

最优解可以在顶点上找到，不许考虑内部点
一次旋转就是一个顶点沿着一条边λ走θ倍到另一个顶点的过程

当然也需要注意初始化单纯形算法，比如之前的情况：

我们的顶点要在可行域才行，而不要跑到(0,0)去了。初始方法和之前的一样。

单纯形算法的调用(Python内置工具包)

python真的是非常强大。scipy包里面包含了很多科学计算相关的模块方法。

原题目：有2000元经费，需要采购单价为50元的若干桌子和单价为20元的若干椅子，你希望桌椅的总数尽可能的多，但要求椅子数量不少于桌子数量，且不多于桌子数量的1.5倍，那你需要怎样的一个采购方案呢？解：要采购x1张桌子，x2把椅子max z= x1 + x2s.t. x1 – x2 <= 01.5×1 >= x250×1 + 20×2 <= 2000x1, x2 >=0在python中此类线性规划问题可用lp solver解决scipy.optimize._linprog def linprog(c: int, A_ub: Optional[int] = None, b_ub: Optional[int] = None, A_eq: Optional[int] = None,b_eq: Optional[int] = None, bounds: Optional[Iterable] = None, method: Optional[str] = simplex, callback: Optional[Callable] = None,options: Optional[dict] = None) -> OptimizeResult矩阵A：就是约束条件的系数（等号左边的系数）矩阵B：就是约束条件的值（等号右边）矩阵C：目标函数的系数值from scipy import optimize as optimport numpy as np#参数#c是目标函数里变量的系数c=np.array([1,1])#a是不等式条件的变量系数a=np.array([[1,-1],[-1.5,1],[50,20]])#b是是不等式条件的常数项b=np.array([0,0,2000])#a1，b1是等式条件的变量系数和常数项，这个例子里无等式条件,不要这两项#a1=np.array([[1,1,1]])#b1=np.array([7])#限制lim1=(0,None)#(0,None)->(0,+无穷)lim2=(0,None)#调用函数ans=opt.linprog(-c,a,b,bounds=(lim1,lim2))#输出结果print(ans)#注意：我们这里的应用问题，椅子不能是0.5把，所以最后应该采购37把椅子

手动自己实现一个简单的单纯性算法

import numpy as npclass Simplex(object):

def __init__(self, obj, max_mode=False):

self.max_mode = max_mode # 默认是求min，如果是max目标函数要乘-1

self.mat = np.array([[0] + obj]) * (-1 if max_mode else 1) #矩阵先加入目标函数 def add_constraint(self, a, b):

self.mat = np.vstack([self.mat, [b] + a]) #矩阵加入约束 def solve(self):

m, n = self.mat.shape # 矩阵里有1行目标函数，m – 1行约束，应加入m-1个松弛变量

temp, B = np.vstack([np.zeros((1, m – 1)), np.eye(m – 1)]), list(range(n – 1, n + m – 1)) # temp是一个对角矩阵，B是个递增序列

mat = self.mat = np.hstack([self.mat, temp]) # 横向拼接

while mat[0, 1:].min() < 0: #判断目标函数里是否还有负系数项

col = np.where(mat[0, 1:] < 0)[0][0] + 1 # 在目标函数里找到第一个负系数的变量，找到替入变量

row = np.array([mat[i][0] / mat[i][col] if mat[i][col] > 0 else 0x7fffffff for i in

range(1, mat.shape[0])]).argmin() + 1 # 找到最严格约束的行，也就找到替出变量

if mat[row][col] <= 0: return None # 若无替出变量，原问题无界

mat[row] /= mat[row][col] #替入变量和替出变量互换

ids = np.arange(mat.shape[0]) != row

mat[ids] -= mat[row] * mat[ids, col:col + 1] # 对i!= row的每一行约束条件，做替入和替出变量的替换

B[row] = col #用B数组记录替入的替入变量

return mat[0][0] * (1 if self.max_mode else -1), {B[i]: mat[i, 0] for i in range(1, m) if B[i] < n} #返回目标值，对应x的解就是基本变量为对应的bi，非基本变量为0″””

minimize -x1 – 14×2 – 6×3

st

x1 + x2 + x3 <=4

x1 <= 2

x3 <= 3

3×2 + x3 <= 6

x1 ,x2 ,x3 >= 0

answer :-32

“””

t = Simplex([-1, -14, -6])

t.add_constraint([1, 1, 1], 4)

t.add_constraint([1, 0, 0], 2)

t.add_constraint([0, 0, 1], 3)

t.add_constraint([0, 3, 1], 6)

print(t.solve())

print(t.mat)

小结

给定一个线性规划L，就只有如下三种情形：

有一个有限目标值的最优解
不可行
无界

转载：细语呢喃 > 线性规划-单纯形算法详解本文在转载的过程中加入了一些自己代码的实现，想看原作者详情的请移步到：https://www.hrwhisper.me/introduction-to-simplex-algorithm/